Konstrukce trojúhelníků

08.09.2016 16:20

k zopakování :  Základní vlastnosti, dělení trojúhelníků, přímky a úhly v trojúhelníku

Řešené a sestrojené trojúhelníky k vytištění 1

Řešené a sestrojené trojúhelníky k vytištění 2

 

přehled:

řešené konstrukční úlohy krok po kroku i s videem - vyber podle zadání trojúhelníku

konstrukce různých zadání trojúhelníku i s řešením

Příklad č. 1:  Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:

Náčrt a rozbor:

Postup konstrukce:

Konstrukce:

Závěr: Trojúhelník vyhovuje zadání, dvě řešení v polorovině (trojúhelníky ABC1, ABC2)

Příklad č. 2:  Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:

 
 

                      Náčrt a rozbor:

 

Postup konstrukce:

 

Konstrukce:

Závěr: Trojúhelník vyhovuje zadání, jedno řešení v polorovině

Příklad č. 3:  Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, je-li dáno:


Náčrt a rozbor:

 

Postup konstrukce:

 

Konstrukce:

Závěr: Trojúhelník vyhovuje zadání, dvě řešení v polorovině (trojúhelník ABC1 a trojúhelník ABC2)

Poznámka k příkladu 3:

Na obrázku si všimni, jak se mění počet řešení v závislosti na velikosti výšky na stranu c:

 

v1 <  5cm (poloměr Th)  -  2 řešení v polorovině

 

v2 = 5cm (poloměr Th)  -  1 řešení v polorovině

 

v3 > 5cm (poloměr Th)  -  žádné řešení v polorovině

 

 

 

Příklad č. 4:  Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:

Náčrt a rozbor:

Postup konstrukce:

Konstrukce:

 

Závěr: Trojúhelník vyhovuje zadání, jedno řešení v polorovině

Příklad č. 5:  Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:


Náčrt a rozbor:

Postup konstrukce:

Konstrukce:

Závěr: Trojúhelník vyhovuje zadání, jedno řešení v polorovině

Příklad č. 6:  Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:

Náčrt a rozbor: těžnice je úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem strany ležící naproti vrcholu (v rozboru tc = |CS|)

 

 

Postup konstrukce:                                             Konstrukce:

 

Poznámka: Při hledání neznámého bodu B můžeš rovněž užít středové souměrnosti. Již totiž dobře víš, že těžnice je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Bod S je tedy středem úsečky AB. Postup konstrukce by pak od bodu 5 včetně vypadal následovně:

Závěr: Trojúhelník odpovídá zadání, jedno řešení v polorovině

Poznámka:  Z konstrukce se někdy mylně zdá, že kružnice k, l mají společné 2 body, a tedy úloha má dvě řešení. Je to pravda, je třeba si však uvědomit, že začínáme stranou AC, která nám rovinu rozdělí na dvě poloroviny. Druhé řešení (S2, trojúhelník AB2C) by tak vzniklo ve druhé polorovině. V jedné polorovině má tak úloha opravdu jedno řešení.

 

Příklad č. 7:  Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:

 
 

Náčrt a rozbor:

 

 

 

 

 

 

Postup konstrukce:

Konstrukce:

Závěr: Trojúhelník vyhovuje zadání, řešení v polorovině

 

Poznámka: Počet řešení zde závisí na délce těžnice. Zkus si sám narýsovat trojúhelník pro případ, kdy tc = 1,7 cm. Kolik Ti vyšlo řešení ? A kdy úloha nemá řešení ? Poslední otázku zjisti měřením.

 

Odpovědi: pro tc = 1,7 cm má úloha dvě řešení v polorovině

                   Pro tc < 1,55 cm úloha nemá řešení v polorovině

Příklad č. 8:  Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:


Náčrt a rozbor: Než přistoupíš k náčrtu, zopakuj si vše, co víš o těžnicích a těžišti trojúhelníku. Co udělá těžiště T s těžnicí t ? Nejprve se podívej na neúplný náčrt a doplň chybějící údaje.

Pokud Ti to nejde, napovím. Těžiště rozdělí těžnici na dvě úsečky. Úsečka spojující vrchol s těžištěm (např. AT) je přitom vždy 2x větší než úsečka spojující těžiště se středem strany naproti vrcholu (např. TSBC).

Nebo si možná vzpomeneš na následující vztahy:

Máš stejně doplněné rozměry jako já ?

 

 

Nyní již sám náčrt a rozbor dokonči. Jakým trojúhelníkem by si začal konstrukci ?

 

Postup konstrukce:

Konstrukce:

Závěr: Trojúhelník vyhovuje zadání, jedno řešení v polorovině

 

Příklad č. 9:  Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:


Náčrt a rozbor:

 

Postup konstrukce:

 

Konstrukce:

Závěr: Trojúhelník vyhovuje zadání, dvě řešení v polorovině

Poznámka:  Opět si všimni, jak se mění počet řešení v závislosti například na velikosti těžnice tc. Určitě ihned víš, kdy bude mít úloha v závislosti na velikosti tc jedno a kdy žádné řešení ? Podívej se na můj obrázek a diskusi pod ním. Máš stejné výsledky ?

 

k(r > tc)  -  2 řešení v polorovině (∆ABC1, ∆ABC2)

 

k´(r = tc)  -  1 řešení v polorovině (∆ABC3)

k´´(r < tc)  - 0 řešení v polorovině

 

Obdobnou diskusi si sám proveď pro případ, kdy se bude měnit velikost výšky vc.

 

 

Příklad č. 10:  Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:


Náčrt a rozbor:

 

Postup konstrukce:

 

 

 

 

Konstrukce:

 

 

 

 

 

 

 

Závěr: Trojúhelník vyhovuje zadání, dvě řešení v polorovině (trojúhelníky ABC1; ABC2)