Středová souměrnost

06.01.2013 12:57

E-LEARNING - zde, Procvičení - zde, konstrukce - zde, dynamické listy - zde

O některých písmenech abecedy říkáme, že jsou souměrné podle středu.

Na houpačce i fontáně vidíme, že středová souměrnost často využíváme i v praxi.

Příklad :

Narýsujte trojúhelník ABC a bod S, který není bodem trojúhelníku ABC. Narýsujte poté polopřímky AS, BS a CS. Poté si vezněte průsvitku a překreslete na ni trojúhelník ABC i bod S. Kružítkem uchyťte průsvitku do bodu S a otáčejte s ní tak, až se bod A přemístí na opačnou polopřímku k SA, bod B na opačnou polopřímku k SB a bod C na opačnou polopřímku k SC. Body, do kterých se přemístily bod A, B, C označte A´, B´ a C´. Poté narýsujte trojúhelník A´B´C´.

Přiřazením trojúhelníku A´B´C´ k trojúhelníku ABC jste dostali zobrazení.

Toto zobrazení nazýváme středovou souměrností. Bod S je střed souměrnosti.

Trojúhelník ABC je vzor trojúhelníku A´B´C´, trojúhelník A´B´C´ je obraz trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem S.

 Výklad

  • středová souměrnost se středem S je přímá shodnost, která přiřazuje bodu S týž bod S'=S a každému bodu X roviny různému od S přiřazuje obraz X' tak, že platí:
    1. bod X' leží na polopřímce opačné k polopřímce SX
    2. |SX'|=|SX|
  • středová souměrnost je jednoznačně určena středem S souměrnosti
  • samodružný je právě jen střed S souměrnosti; (slabě) samodružné jsou všechny přímky jdoucí bodem S
  • středová souměrnost je speciálním případem otočení o úhel velikosti 180°
  • je-li přímka p' obrazem přímky p v dané středové souměrnosti, pak jsou přímky p,p' rovnoběžné

Středová souměrnost v rovině [kliknutím otevřete SVG obrázek v samostatném okně]

 

Příklad

Sestrojte obraz bodu M ve středové souměrnosti s středem S.

Říkáme, že body M, M´ jsou souměrně sdružené ve středové souměrnosti se středem S.

 Obrazem bodu S bod S´, přičemž platí S = S´. Bod S je samodružný.

Obraz úsečky AB ve středové souměrnosti se středem S.

Obraz trojúhelníka KLM ve středové souměrnosti se středem S.

Obraz kružnice k ve středové souměrnosti se středem S.

 

Středově souměrné útvary

- mají střed souměrnosti

Úsečka

- střed souměrnosti leží ve středu úsečky

Rovnostranný trojúhelník

- střed souměrnosti leží v průsečíku výšek

Čtverec

- střed souměrnosti je průsečíkem úhlopříček

Obdélník

- střed souměrnosti je průsečíkem úhlopříček

Kružnice, kruh

- střed souměrnosti je středem kružnice

Kosočtverec, rovnoběžník

- střed souměrnosti je průsečíkem úhlopříček

Krychle a kvádr

- střed souměrnosti leží v průsečíku tělesových úhlopříček